Розділ 3. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ » 21.28

21.28 (XV Всеукраїнська олімпіада, 1975 р.) При яких натуральних значеннях n число 2n + 65 є квадратом цілого числа? Розглянемо степені числа 2. останньою цифрою числа 2n є 2, 4, 8 або 6. 1) Нехай n – парне число. Тоді останньою цифрою числа 2n є 2 або 8, а останньою цифрою числа 2n + 65 – 7 або 3. Квадрат цілого числа не може мати останньої цифрою 7 або 3. 2) Нехай n = 2k (k – натуральне), тобто є парним числом. Тоді 22k + 65 = а2. Тоді а = 2k + y. Маємо 22k + 65 = (2k + y)2; 22k + 65 = 22k + 2y • 2k + y2; 2y • 2k + y2 = 65. Звідси k ≤ 5. 3) Розглянемо по черзі. k = 1; 22•1 + 65 = 69; k = 2; 22•2 + 65 = 81 = 92; тоді n = 4; k = 3; 22•3 + 65 = 129; k = 4; 22•4 + 65 = 321; k = 5; 22•5 + 65 = 1089 = 332; тоді n = 10. Відповідь: n = 4; n = 10.