Розділ 3. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ » 24.28

Виділіть з кожного квадратного тричлена квадрат двочлена та доведіть, що при будь–якому значенні x квадратний тричлен: 1) x2 – 4х + 9 набуває додатного значення; 2) 2х2 + 8х + 8 набуває невід’ємного значення; 3) –x2 + 6х – 16 набуває від’ємного значення; 4) –х2 + 10х – 25 набуває недодатного значення. 1) х2 – 4х + 9 = х2 – 4х + 4 – 4 + 9 = (х – 2)2 + 5 > 0 для будь–якого х. 2) 2x2 + 8х + 8 = 2(х2 + 4х + 4) = 2(х + 2)2 ≥ 0 для будь–якого. 3) –x2 + 6х – 16 = –(x2 – 6x + 16) = –(х2 – 6х + 9 – 9 + 16) = –((х – З)2 + 7). Оскільки (х – З)2 ≥ 0 для будь–якого х, то (х – З)2 + 7 > 0, а –((х – З)2 + 7) < 0 для будь–якого х. 4) –x2 + 10x – 25 = –(x2 – 10x + 25) = –(х – 5)2 ≤ 0 для будь–якого х.