Розділ 3. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ » 9.58

З точки А до площини α проведено дві рівні і взаємно перпендикулярні похилі, кут між проекціями яких – 120°. Знайдіть косинус кута, який утворює кожна з похилих зі своєю проекцією. ∠ВАD = 90°, ∠ВСD = 120°. cos∠ADC – ?, cos∠ABC – ? Якщо АВ = АD, то ∠АВС = ∠АDС та ВС = СD. Нехай АВ = АD = х, тоді з ∆АВD (∠А = 90°) ВD = х√2 см. СН⊥ВD в ∆ВСD, Н – середина ВD, бо СН – і медіана і бісектриса. НD = ВН = (х√2)/2. ∠НСD = 60° ⇒ ∠СDН = 30°. За властивістю кута в 30° в прямокутному трикутнику СD = 2 СН. tg30° = CH/HD ⇒ CH = HDtg 30° = (x√2)/2 • 1/√3 = (x√2)/(2√3). CD = 2 • (x√2)/(2√3) = (x√2)/√3. cos∠ADC = cos∠ABC = CD/AD = (x√2)/(√3 • x) = √2/√3 = √(2/3) = √6/3.