Розділ 3. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ » 8.41

Точка S лежить поза площиною трикутника ABC і рівновіддалена від усіх його вершин. Пряма SO перпендикулярна до площини трикутника, O – точка перетину прямої SO і площини трикутника ABC. Доведіть, що точка O – центр кола, описаного навколо трикутника ABC. За умовою АA = BS = CS, SO⊥(ABC), O = SO ∩ (ABC). Довести: О – центр описаного ∆АВС. Якщо SO⊥(ABC), то SO⊥AO, SO⊥BO, SO⊥CO. Розглянемо ∆АОS, ∆ВОS і ∆СОS: SО – спільний катет, гіпотенузи SА, SВ, SС рівні за умовою. Отже, трикутники рівні за катетом і гіпотенузою ⇒ рівні відповідні сторони АО = ВО = СО ⇒ О – рівновідділена від вершин ∆АВС, а значить, є центром описаного кола навколо ∆АВС.