Розділ 3. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ » 9.38

Площа прямокутного трикутника дорівнює 6 см2, а різниця його катетів – 1 см. Точка M віддалена від площини трикутника на 6 см і рівновіддалена від усіх його вершин. Знайдіть відстань від точки M до вершин трикутника. ∆АВС, S∆АВС = 6 см2, ∠АСВ = 90°, ВС – АС = 1 см, ρ(М, (АВС)) = 6 см, МА = МВ = МС. МА – ? Якщо М рівновіддалена від вершин, точка О – основа перпендикуляра, опущеного на (АВС), то О – центр описаного кола навколо ∆АВС. В прямокутному трикутнику центр описаного кола лежить по середині гіпотенузи. АО = ОВ, МО = 6 см. Нехай АС = х, тоді ВС = х + 1. S∆АВС = 1/2АС • ВС; 1/2 • х • (х + 1) = 6. х(х + 1) = 12. х2 + х – 12 = 0. х1 = 3; х2 = –4 < 0 не підх. за умовою. Отже, АС = 3, ВС = 4, тоді АВ = 5 см. (∆АВС – єгипетський). АО = ОВ = 5/2 см. АМ = √(МО^2+АО^2 ) = √(36+ 25/4) = 169/4 = 13/2 (см). АМ = 6,5 см.