Розділ 2. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ » 7.33

Площа прямокутного трикутника дорівнює 6 см2, а різниця його катетів – 1 см. Точка М віддалена від усіх його вершин. Знайдіть відстань від точки М до вершин трикутника. ∆АВС, S∆АВС = 6 см2; ∠АСВ = 90°; ВС – АС = 1 см; ρ(М, (АВС)) = 6 см; МА = МВ = МС; МА – ? Якщо М рівновіддалена від вершин, точка О – основа перпендикуляра, опущеного на (АВС), то О – центр описаного кола навколо ∆АВС. В прямокутному трикутнику центр описаного кола лежить по середині гіпотенузи. АО = ОВ; МО = 6 см. Нехай АС = х, тоді ВС = х + 1; S∆АВС = 1/2АС • ВС; 1/2 • х • (х + 1) = 6; х(х + 1) = 12; х2 + х – 12 = 0; х1 = 3; х2 = –4 < 0 не підх. за умовою; Отже, АС = 3, ВС = 4, тоді АВ = 5 см; (∆АВС – єгипетський); АО = ОВ = 5/2 см. АМ = √(МО^2+АО^2 ) = √(36+ 25/4) = 169/4 = 13/2 (см); АМ = 6,5 см.