Задачі для повторення » 1279

1279. Знайди бісектриси гострих кутів прямокутного трикутника з катетами 6 см і 8 см. Дано: ∆ABC (∠C = 90°); AC = 8 см; BC = 8 см. Знайти: бісектриси AK, BH. Розв'язання ∆ABC (∠C = 90°) – єгипетський з коефіцієнтом 2, тоді AB = 2 • 5 = 10 см. За властивістю бісектриси: CK/KB = AC/AB = 8/10 = 4/5. Нехай CK = 4x, тоді KB = 5x. BC = CK + KB; 4x + 5x = 6; 9x = 6; x = 6/9 = 2/3; СК = 4 • 2/3 = 8/3 (см); КВ = 5 • 2/3 = 10/3 (см). ∆AСК (∠C = 90°): AK2 = AC² + CK² = 8² + (8/3)² = 64 + 64/9 = 640/9; AK = √(640/9) = (8√10)/3 (см). За властивістю бісектриси: АМ/МС = АВ/ВС = 10/6 = 5/3. Нехай AM = 5x см, тоді MC = 3х см. AC = AM + MC; 5x + 3x = 8; 8x = 8; x = 1. MC = 3 • 1 = 3 (см). ∆МСВ (∠C = 90°): BM2 = MC2 + BC2 = 32 + 62 = 9 + 36 = 45; BM = √45 = 3√5 (см). Відповідь: (8√10)/3 см; 3√5 см.