Задачі для повторення » 1235

1235. На продовженнях діагоналі АС квадрата АBCD взято точки М і N так, що АМ = СN. Доведи, що МBND — ромб, і знайди його периметр, якщо АС = 16 см і ∠АВМ : ∠АBD = 1 : 3. Дано: квадрат ABCD; AM = CN, AC = 16 см; ∠ABM : ∠ABD = 1 : 3. Довести: MBND – ромб і знайти PMBND. Доведення У кавдраті ABCD: AC : BD, AC ⊥ BD, AO = OC = BO = OD. У чотирикутнику MBND: MO = AO + AM; NO = OC + NC, ⇒ MO = NO. BO = OD – за умовою; MO = NO – за доведеним, ⇒ MBND – паралелограм. AC ⊥ BD; MN лежить на АС, ⇒ MN ⊥ BD. Тоді чотирикутник MBND – ромб. BD – бісектриса ∠В, тоді ∠ABD = 45°. ∠ABM = 1/3∠ABD = 1/3 • 45° = 15°. ∠MBO = ∠ABD + ∠ABM = 45° + 15° = 60°. ∆MOB (∠O = 90°): ∠BMO = 90° – ∠MOB = 90° – 60° = 30°. BO = 1/2МВ – за властивістю катета, що лежить проти кута 30°. МВ = 2 • ВО = 2 • 8 = 16 (см); PMBND = 4 • MB = 4 • 16 = 64 (см). Відповідь: 64 см.