§ 4. Координати та вектори в просторі » 22.19

Дано куб ABCDA1B1C1D1, ребро якого дорівнює 4 см. Точки M і K — середини ребер AD і BB1 відповідно. На ребрі CD позначили точку E, а на його продовженні за точку D — точку F так, що DE = 1 см, а точка D — середина відрізка CF. Доведіть, що пряма KF перпендикулярна до площини MD1E. AB = 4 см; DE = 1 см; FD = DC. Довести: KF ⊥ (MD1E). Розглянемо систему координат з початком в точці D. M (0; –2; 0); E (–1; 0; 0); D1 (0; 0; 4). Складемо рівняння площини (MD1E). (ME) ⃗ (–1; 2; 0). (ME) ⃗ ⊥ a ⃗ (a; b; c); –a + 2b + 0c = 0. (MD_1 ) ⃗ (0; 2; 4). (MD_1 ) ⃗ ⊥ a ⃗ (a; b; c); 2b + 4c = 0. (ED_1 ) ⃗ (1; 0; 4); a + 4c = 0. –a + 2b = 0; 2b + 4c = 0; a + 4c = 0; a = 2b; 2b + 4c = 0; +2b + 4c = 0; a = 2b; 2b = –4c; a = 2b = –4c. b = –2c. c = 1; a = –4; b = –2; a ⃗ (–4; –2; 1). F (4; 0; 0); K (–4; –4; 2). (FK) ⃗ (–8; –4; 2). Бачимо, що координати а ⃗ і (FK) ⃗ пропорційні. а ⃗ || (FK) ⃗ ⇒ (FK) ⃗ ⊥ α.