§ 4. Координати та вектори в просторі » 20.35
Точка O — центр грані AA1B1B куба ABCDA1B1C1D1. Знайдіть кут між прямими OC і B1D. ∠((OC) ⃗, (B_1 D) ⃗) – ? (OC) ⃗ = (O_1 C) ⃗ – (O_1 O) ⃗ = (BC) ⃗ – (BO_1 ) ⃗ – 1/2 (BB_1 ) ⃗ = (BC) ⃗ – 1/2 (BB_1 ) ⃗. (B_1 D) ⃗ = (BD) ⃗ – (BB_1 ) ⃗ = (BA) ⃗ + (BC) ⃗ – (BB_1 ) ⃗ (OC) ⃗ • (B_1 D) ⃗ = ((BC) ⃗ – 1/2 (BA) ⃗ – 1/2 (BB_1 ) ⃗) • ((BA) ⃗ + (BC) ⃗ – (BB_1 ) ⃗) == (BC) ⃗ • (BA) ⃗ + (BC) ⃗2 – (BC) ⃗ • (BB_1 ) ⃗ - – 1/2 (BA) ⃗2 – 1/2 (BA) ⃗ • (BC) ⃗ + 1/2 (BA) ⃗ • (BB_1 ) ⃗ – 1/2 (BB_1 ) ⃗ • (BA) ⃗ – 1/2 (BB_1 ) ⃗ • (BC) ⃗ + 1/2 (BB_1 ) ⃗2 = a2 – 1/2a2 + 1/2a2 = a2. |(OC) ⃗| = √(1/4 a^2+ 5/4 a^2 ) = √(6/4 a^2 ) = (a√6)/2. |(B_1 D) ⃗| = a√3. cos∠((OC) ⃗, (B_1 D) ⃗) = a^2/((a√6)/2 •a√3) = 2/(√6 • √3) = √2/3. ∠((OC) ⃗, (B_1 D) ⃗) arccos √2/3.