§ 4. Координати та вектори в просторі » 20.36
Дано куб ABCDA1B1C1D1. Точки M і K — відповідно середини ребер AA1 і AD, точка O — центр грані CC1D1D. Доведіть, що прямі B1K і MO перпендикулярні. (MO) ⃗ = (AO_1 ) ⃗ = (AD) ⃗ + (DO_1 ) ⃗ = (AD) ⃗ + 1/2 (AB) ⃗ (B_1 K) ⃗ = (B_1 B) ⃗ + (BK) ⃗ = (B_1 B) ⃗ + (AK) ⃗ – (AB) ⃗ = (B_1 B) ⃗ + 1/2 (AD) ⃗ – (AB) ⃗. (MO) ⃗ • (B_1 K) ⃗ = ((AD) ⃗ + 1/2 (AB) ⃗) • ((B_1 B) ⃗ + 1/2 (AD) ⃗ – (AB) ⃗) = = (AD) ⃗ • (B_1 B) ⃗ + 1/2 (AD) ⃗2 – (AD) ⃗2 – – (AD) ⃗ • (AB) ⃗ + 1/2 (AB) ⃗ • (B_1 B) ⃗ + 1/4 (AB) ⃗ • (AD) ⃗ – 1/2 (AB) ⃗2 = 1/2a2 – 1/2a2 = 0. Якщо скалярний добуток векторів дорівнює 0, то вектори перпендикулярні.