§ 4. Координати та вектори в просторі » 19.36

Точки E і F є відповідно серединами ребер BC і AD тетраедра DABC. На відрізках BD, EF і AC позначили відповідно точки M, K і P так, що DM : MB = FK : KE = AP : PC = 2 : 1. Доведіть, що точки M, K і P лежать на одній прямій. DM : MB = 2 : 1; FK : KE = 2 : 1; AP : PC = 2 : 1. Довести: M, K i P лежать на одній прямій. (MP) ⃗ = (MB) ⃗ + (BP) ⃗ = 1/3 (DB) ⃗ + (AP) ⃗ – (AB) ⃗ = 1/3 • ((AB) ⃗ – (AD) ⃗) + 1/2 (AC) ⃗ – (AB) ⃗ = 1/3 (AB) ⃗ – 1/3 (AD) ⃗ + 1/2 (AC) ⃗ – (AB) ⃗ = –2/3 (AB) ⃗ – 1/3 (AD) ⃗ + 1/2 (AC) ⃗ (MK) ⃗ = (MD) ⃗ + (DF) ⃗ + (FK) ⃗ = 2/3 (BD) ⃗ – 1/2 (AD) ⃗ + 2/3 (FE) ⃗ = 2/3 ((AD) ⃗ – (AB) ⃗) – 1/2 (AD) ⃗ + + 2/3 • ((AE) ⃗ – (AF) ⃗) = 2/3 (AD) ⃗ – 2/3 (AB) ⃗ – 1/2 (AD) ⃗ + 2/3 (1/2((AC) ⃗ + (AB) ⃗) – 1/2 (AD) ⃗) = = 2/3 (AD) ⃗ – 2/3 (AB) ⃗ – 1/2 (AD) ⃗ + 1/3 (AC) ⃗ + 1/3 (AB) ⃗ – 1/3 (AD) ⃗ = –1/3 (AB) ⃗ – 1/6 (AD) ⃗ + 1/6 (AC) ⃗ (MP) ⃗ ∥ (MK) ⃗ ⇒ M, K i P лежать на одній прямій.