§ 4. Координати та вектори в просторі » 19.37
Точки M, F і K — середини відповідно ребер BC, AD і CD тетраедра DABC. На відрізку AM позначили точку P, а на відрізку CF — точку E так, що AP : PM = 4 : 1, CE : EF = 2 : 3. Доведіть, що прямі PE і BK паралельні. AP : PM = 4 : 1 CE : EF = 2 : 3 Довести: PE ∥ BK (PE) ⃗ = (PA) ⃗ + (AF) ⃗ + (FE) ⃗ = 4/5 (MA) ⃗ + 1/2 (AD) ⃗ + 3/5 (FC) ⃗ = 4/5 ((BA) ̅ – (BM) ̅) + 1/2 • ((BD) ̅ – (BA) ⃗) + 3/5 • ((BC) ̅ – (BF) ̅) = 4/5 (BA) ̅ – 4/5 • 1/2 (BC) ⃗ + 1/2 (BD) ̅ – 1/2 (BD) ̅ – 1/2 (BA) ̅ + 3/5 (BC) ̅ – – 3/5 • 1/2 ((BD) ̅ + (BA) ̅) = 4/5 (BA) ̅ – 2/5 (BC) ̅ + + 1/2 (BD) ̅ – 1/2 (BA) ̅ + 3/5 (BC) ̅ – 3/10 (BD) ̅ – 3/10 (BA) ̅ = 1/5 (BC) ⃗ + 1/5 (BD) ⃗ (BK) ⃗ = 1/2 (BC) ⃗ + 1/2 (BD) ⃗. Бачимо, що коефіцієнти при однакових векторах пропорційні, означає, що (ВК) ⃗ ∥ (РЕ) ⃗.