Вправи 1101 - 1225 » 1148

1148. Знайди площу трапеції, основи якої 24 см і 72 см, а кути при більшій основі 30° і 60°. ABCD — трапеція, BC = 24 см; AD = 72 см, ∠А = 30°, ∠D = 60°. Проведемо BK ⊥ AD, CM ⊥ AD. BCMK — прямокутник, тому KM = BC = 24 см, тоді MD + AK = 72 – 24 = 48 (см). Нехай MD = х, тоді AK = 48 – х. У ∆CMD ∠D = 60°, ∠C = 30°, тоді CD = 2MD = 2х (см). За теоремою Піфагора CM = √(CD^2- MD^2 ) = √(〖4x〗^2- x^2 ) = х√3 (см). СМ = ВК = х√3 (см). У ∆ABK ∠А = 30°, ∠В = 60°. ∆АВK ~ ∆CDM (за двома кутами). 3 подібності трикутників: AK/CM = BK/MD; (48-x)/(x√3) = (x√3)/x. 48х – x2 = Зх2; 48 – 4х2 = 0; 4х(12 – х) = 0, х = 0 — не є розв’язком задачі. 12 – х = 0 х = 12 (см). MD = 12 см; CM = х√3 = 12√3. SABCD = (BC+AD)/2 • CM = (24+72)/2 • 12√3 = 48 • 12√3 = 576√3 (см2).