Вправи 1101 - 1225 » 1213

1213. Через точку перетину медіан ∆ABC паралельно AC проведено пряму, яка перетинає сторони AB і BC у точках M i N. Знайди площу ∆ABC, якщо площа ∆MBN дорівнює S. ∆ABC – довільний трикутник; O — точка перетину медіан. MN ∥ AC; O ∈ MN; N ∈ BC. S∆MBN = S. МN ∥ AC, тому ∆BMN = ∠ВАС, ∠B — спільний для ∆BMN і ∆ABC. Звідси ∆MBN ~ ∆ABC (за двома кутами BO : OK = 2 : 1 (властивість медіан). MN ∥ AC, тому за теоремою Фалеса BM : MA = 2 : 1, a BM : BA = 2 : 3. ∆MBN ~ ∆ABC з коефіцієнтом подібності 2/3. S_MBN/S_ABC = (2/3)2 = 4/9; S/S_ABC = 4/9. Звідси: SABC = 9S/4.