Вправи 1101 - 1225 » 1219

1219. Доведи, що сума відстаней від точки, яка лежить всередині рівностороннього трикутника, до його сторін не залежить від положення цієї точки. ∆ABC — рівносторонній трикутник. M — точка всередині ∆ABC. MK ⊥ AB; MN ⊥ BC; MZ ⊥ AC. Де б ми не взяли т. M з’єднавши А, В, C з т. М, маємо: S∆ABM + S∆BMC + S∆AMC = S∆ABC. Нехай a — сторона трикутника, тоді S∆ABM = 1/2a • MK; S∆BMC = 1/2a • MN; S∆AMC = 1/2a • MZ; S∆ABC = (a^2 √3)/4, тоді 1/2а • МК + 1/2а • MN + 1/2а • MZ = (a^2 √3)/4. MK + MN + MZ = (a√3)/2, тобто сума відстаней від т. M до сторін трикутника незмінна і дорівнює (a√3)/2, де a — сторона ∆ABC.