§ 4. Многокутники. Площа многокутника » 714

Знайдіть площу ромба, якщо його висота дорівнює б см, а більша діагональ — 10 см. Виконаємо додаткову побудову: висоту СР (СР ⊥ АF). Розглянемо ∆АРС — прямокутний (∠P = 90°). За теоремою Піфагора маємо: АС2 = АР2 + СР2, СР = ВN — висоти, АР2 = 102 – 62 = 100 – 36 = 64, АР = 8 см. Розглянемо ∆АNВ і ∆DРС — прямокутні (∠АNВ = ∠СРD = 90°), АВ = СD — сторони ромба, ВN = СР. За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: ∆АNВ = ∆DРС. За властивістю рівних фігур маємо: NА = DР. Нехай АN = DР = х см, АВ = а см. За аксіомою вимірювання відрізків маємо: АР = АD + DР, а + х = 8 (см). Розглянемо ∆АNВ — прямокутний (∠N = 90°). За теоремою Піфагора маємо: АВ2 = АN2 + NВ2, а2 = х2 + 62; а2 – х2 = 36. Складемо і розв’яжемо систему рівнянь: а + х = 8, а + х = 8, а + х = 8, а² – х2 = 36; (а – х)(a + x) = 36; 8(a – x) = 36; a + x = 8, + a + x = 8, (a – x) = 36/8; (a – x) = 4,5; a = 12,5 : 2 = 6,25. 2a = 12,5; Отже, АВ = 6,25 см. SABCD = АD • ВN; АD = АВ = 6,25; ВN = 6 см. SABCD = 6,25 • 6 = 37,5 (см2). Відповідь: SABCD = 37,5 см2.