§ 4. Многокутники. Площа многокутника » 785

У рівнобічній трапеції діагональ є бісектрисою гострого кута й ділить середню лінію трапеції на відрізки завдовжки 6 см і 12 см. Знайдіть площу трапеції. S = (a+b)/2 • h, де а = ВС, b = AD, h — висота. Додаткову побудову: висоту СЕ (СЕ ⊥ AD). За умовою МК — середня лінія трапеції, тоді МР — середня лінія ∆BAC і РК — середня лінія ∆ACD. За теоремою про середню лінію трикутника маємо: ВС = 2МР і АD = 2РК, отже, ВС = 2 • 6 = 12 (см), АD = 2 • 12 = 24 (см). АЕ = МК. За аксіомою вимірювання відрізків маємо МК = МР + РК, ED = AD – АЕ, МК = АЕ = 6 + 12 = 18 (см). ED = 24 – 18 = 6 (см). За умовою АС — бісектриса ∠BAD. Отже, ∠ВАС = ∠CAD. ВС ∥ AD, АС — січна. За ознакою паралельності прямих маємо: ∠DСА = ∠CAD (внутрішні різноcторонні). Отже, маємо ∆АВС — рівнобедрений (∠ВАС = ∠ВСА), ВС = АВ = CD = 12 см. Розглянемо ∆CED — прямокутний (∠Е = 90°). За теоремою Піфагора маємо: CD2 = СЕ2 + ED2, CE2 = CD2 – ED2, СЕ2 = 122 – 62 = (12 – 6) • (12 + 6) = 6 • 18; СЕ = √(6 •18) = √(6 •6•3) = 6√3 (см). S = (12+24)/2 • 6√3 = 36 • З√3 – 108√3 (см2). Відповідь: S = 108√3 см2.