§ 4. Многокутники. Площа многокутника » 801

У прямокутну трапецію вписано коло радіуса 12 см. Більша з бічних сторін точкою дотику ділиться на два відрізки, більший з яких дорівнює 16 см. Знайдіть площу трапеції. За умовою АВСD — прямокутна трапеція. За властивістю кола, вписаного у прямокутну трапецію, маємо: АВ = 2R – 24 см. ЕОРА — квадрат. ОР ⊥ АD, ОЕ ⊥ АВ, АВ ⊥ АD. OE = ОР = R = 12 см. Отже, АР = 12 см. За властивістю дотичних, проведених до кола з однієї точки, маємо: ND = РD = 16 см, FС = СN. Нехай СN = x см, тоді СР = х см. Виконаємо додаткову побудову: висоту СК (СК ⊥ АD). За аксіомою вимірювання відрізків маємо: СD = СN + ND, СD = x + 16 (см), КD = АD – АК, АК = ВС = 12 + х (см), АD = АР + РD, АD = 12 + 16 = 28 (см). КD = 28 – (12 + х) = 28 – 12 – x = 16 – x (см). Розглянемо ∆СКD — прямокутний (∠К = 90°). За теоремою Піфагора маємо: СD2 = СК2 + КD2. Складемо і розв’яжемо рівняння: (х + 16)2 = 242 + (16 – х)2; х2 + 32x + 256 = 576 + 256 – 32x + х2; x2 + 32х + 256 – 576 – 256 + 32х – x2 = 0; 64x = 576; x = 576 : 64; x = 9. Отже, АD = 28 см, ВС = 12 + 9 = 21 см, АВ = 24 см. S = (a+ b)/2 • h, де а = ВС = 21 см, b = AD = 28 см, АВ = h = 24 см. S = (21+28)/2 • 24 = 49 • 12 = 588 (см2). Відповідь: S = 588 см2.