§ 4. Многокутники. Площа многокутника » 659

Доведіть, що коли всі сторони многокутника, вписаного в коло, рівні, то й усі його кути теж рівні. За умовою А1А2А3...Аn — многокутник, вписаний в коло. Центр кола є точкою перетину серединних перпендикулярів. Отже, В1 — середина А1А2; В2 — середина А2A3; В3 — середина А3А4; ...; ОВ1 ⊥ А1А2; ОВ2 ⊥ A2A3; ОВ3 ⊥ А3А4; ..;. За умовою А1А2 = А2А3 = A3A4. Отже, А1В1 = В1А2 = А2В2 = В2A3 = А3В3 = В3А4. Розглянемо ∆ОВ1А2 і ∆ОВ2А2 — прямокутні (∠ОВ1А2 = ∠OB2A2 = 90°). В1А2 = A2B2, OA2 – спільна сторона. За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: ∆ОВ1А2 = ∆ОВ2А2. За властивістю рівних фігур маємо: ∠В1А2O = ∠В2А2O. Розглянемо ∆ОА2В2 і ∆ОА3В2 — прямокутні (∠ОВ2А2 = ∠ОВ2А3 = 90°). В2А2 = А3В2, ОВ2 — спільна сторона. За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: ∆ОА2В2 = ∆ОА3В2. Отже, ∠ОА2В2 = ∠ОА3В2. ∆ОВ2А3 = ∆В3А3 (∠ОВ2A3 = ∠ОB3A3 = 90°), В2А3 = В3A3, ОА4 – спільна сторона, ∠ОА3В2 = ∠ОА3В3. Отже, отримали ∠А1А2А3 = А2А3А4, тобто кути рівні. Доведено.