§ 4. Многокутники. Площа многокутника » 793

Доведіть, що пряма, яка проходить через середину середньої лінії трапеції та перетинає її основи, розбиває дану трапецію на два рівновеликих многокутники. Пряма а розбиває трапецію АВСD на дві трапеції: АВЕF і EСDF. SABEF = (BE+AF)/2 • BT (BT – висота, BT ⊥ AD). SECDF = (EC+FD)/2 • CR (CR – висота, CR ⊥ AD). ВСRТ — прямокутник (ВС ∥ ТR, ВТ ⊥ АD, СR ⊥ АD, ВT ∥ СR), отже, ВТ = СR = h. За теоремою Фалеcа маємо, що Р – середина ЕF, отже, МР — середня лінія трапеції АВЕF, РN – середня лінія трапеції ЕСDF. За теоремою про середню лінію трапеції маємо МР = 1/2(ВЕ + АF); PN = 1/2(ЕС + FD). За умовою Р — середина МN, отже, МР = РN = 1/2МN = b. SABEF = h • b; SECDF = h • b. Отже, SABEF = SECDF. Тобто пряма а розбиває трапецію ABCD на два рівновеликих многокутника. Доведено.