§ 4. Многокутники. Площа многокутника » 789

Менша бічна сторона прямокутної трапеції дорівнює 8 см, а гострий кут — 45°. Знайдіть площу трапеци, якщо в неї можна вписати коло. S = (a+b)/2 • h, де а = ВС, b = АD, h = AD = 8 висота. Виконаємо додаткову побудову: висоту ВN (ВN ⊥ DC). Розглянемо ∆BNC — прямокутний (∠N = 90°). За умовою ∠С = 45°. За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо: ∠NBC = 90° – 45° = 45°. Отже, ∆BNC – рівнобедрений, BN = NC = 8 см. За теоремою Піфагора маємо: BC2 = BN2 + NC2; ВC2 = 82 + 82 = 64 + 64 = 128; ВC = √128 = √(64 •2) = 4√2 = 40 (см). За умовою у трапецію можна вписати коло, тому AB + DC = AD + BC, AB + DC = 8 + 8√2 (см). S = (8+8√2)/2 • 8 = (8 + 8√2) • 4 = 32 + 32√2 (см2). Відповідь: S = 32 + 32√2 см2.