§ 4. Многокутники. Площа многокутника » 802

Діагональ рівнобічної трапеції ділить висоту, проведену з вершини тупого кута, на відрізки завдовжки 15 см і 12 см, а бічна сторона трапеції дорівнює її меншій основі. Знайдіть площу трапеції. S = (a+ b)/2 • h, де а = ВС, b = АD, h = СЕ. За аксіомою вимірювання відрізків маємо: СЕ = СF + FЕ, СЕ = 12 + 15 = 27 (см). За умовою ВС = СD. Отже, ∆ВСD — рівнобедрений. За властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника маємо: ∠CBD = ∠СDВ. ВС ∥ АD, ВD — січна. За ознакою паралельності прямих маємо: ∠СВD = ∠ВDА (внутрішні різносторонні). Отже, ∠СDВ = ∠ВDА. Тоді ВD — бісектриса ∠СDА. Розглянемо ∆СЕD — прямокутний (∠Е = 90°). За властивістю бісектриси трикутника маємо: CE/FE = CD/ED; 15/12 = CD/ED; CD/ED = 5/4. Отже, нехай СD = 5х (см), ЕD = 4х (см). За теоремою Піфагора маємо: СD2 = СЕ2 + ЕD2. Складемо і розв’яжемо рівняння: (5x)2 = 272 + (4х)2; (5х)2 – (4х)2 = 272; (5х – 4х)(5х + 4х) = 272; x • 9х = 272, 9х2 = 272; (Зх)2 = 272; Зх = 27; x = 27 : 3; x = 9. Отже, СD = 5 • 9 = 45 (см), ВС = СD = 45 см. ED = 4 • 9 = 36 (см). За властивістю рівнобічної трапеції маємо: ED = 1/2 (АD – ВС); 36 = 1/2 (AD – 45); AD – 45 = 36 • 2; AD – 45 = 72; AD = 72 + 45 = 117 (см). S = (45+117)/2 • 27 = 162/2 • 27 = 81 • 27 = 2187 (см2). Відповідь: S = 2187 cм2.