§ 4. Многокутники. Площа многокутника » 710

Діагональ паралелограма, яка дорівнює 18 см, перпендикулярна до однієї зі сторін і утворює кут 30° із другою стороною. Знайдіть площу паралелограма. Розглянемо ∆АВD — прямокутний (∠В = 90°, тому що АВ ⊥ ВD). За властивістю катета, що лежить навпроти кута 30° маємо: АD = 2АВ. Нехай АВ = x см, тоді АD = 2х см. За теоремою Піфагора маємо: АD2 = АВ2 + ВD2. Складемо і розв’яжемо рівняння: (2х)2 = х2 + 182; 4х2 – х2 = 182; Зх2 = 324; х2 = 324 : 3; х2 = 108; x = √108 = √(36•3) = 6√3. Отже, АВ = 6√3 см, АD = 2 • 6√3 = 12√3 (см). ∆ВND — прямокутний (∠N = 90°). За властивістю катета, що лежить навпроти кута 30°, маємо: ВN = 1/2ВD; ВN = 18 : 2 = 9 (см). SABCD = ВN • АD; SABCD = 9 • 12√3 = 108√3 (см2). Відповідь: SABCD = 108√3 см2.