§ 4. Многокутники. Площа многокутника » 804

У трапеції ABCD відомо, що BC ∥ AD, точка M — середина сторони AB. Знайдіть площу трикутника CMD, якщо площа даної трапеції дорівнює S. Виконаємо додаткові побудови: через точку M проведемо пряму а, яка перетинає бічну сторону CD у точці N. Якщо M — середина АВ і MN ∥ ВС, MN ∥ AD. За теоремою про середню лінію трапеції маємо: MN — середня лінія трапеції і MN = 1/2(ВС + AD). Через точку M проведемо перпендикуляр РК до основ АВ і СD, РК ⊥ АВ, РК ⊥ СD. Розглянемо ∆АРМ і ∆ВКМ — прямокутні, ∠APM = ∠BKM = 90°, ∠AMP = ∠BMK (вертикальні). За І ознакою подібності трикутників маємо: ∆АРM = ∆ВКМ. За властивістю подібних фігур маємо: AM/MB = MK/MP. За умовою M — середина АВ, отже, АМ = МВ, тому AM/MB = 1. Тому ∆МКВ = ∆МРА. Отже, МК = МР = 1/2КР (КР – висота трапеції АВСD). S∆CMB = 1/2МК • ВС (МК — висота ∆СМВ); S∆AMD = 1/2 МР • АD (МР — висота ∆АМD). S∆CMB + S∆AMD = 1/2MK • BC + 1/2MP • AD = 1/2 • 1/2KP • BC + 1/2 • 1/2KP • АD = 1/4KP • BC + 1/4KP • AD = 1/4KP(BC + AD) = (BC+ AD)/2 • KP/2 = (MN• KP)/2 = 1/2SABCD = S/2. За властивістю площ фігур маємо: S∆CMD = SABCD – (S∆BMC + S∆AMD), отже, S∆CMD = S\2 – S/2 = (2S- S)/2 = S/2. Відповідь: S∆CMD = S/2.