§ 4. Многокутники. Площа многокутника » 792

Точка перетину бісектрис тупих кутів при основі трапеції належить другій основі. Знайдіть площу трапеції, якщо її бічні сторони дорівнюють 10 см і 17 см, а висота — 8 см. S = (a+b)/2 • h, де а = ВС, b = АD, h = СN = 8 см. За умовою ВЕ — бісектриса ∠СВА. За означенням бісектриси кута маємо: ∠СВЕ = ∠ЕВА. ВС ∥ АD, ВЕ — бічна. За ознакою паралельності прямих маємо: ∠СВЕ = ∠ВЕА (внутрішні різносторонні), отже, ∆ВАЕ — рівнобедрений (∠АВЕ = ∠АЕВ) АВ = АЕ = 10 см. Аналогічно, якщо СЕ — бісектриса ∠ВСD, тоді ∠DСЕ = ∠ВСЕ. ВС ∥ АD, СЕ — січна, ∠DЕС – ∠ВСЕ. Отже, ∆DСЕ — рівнобедрений (∠DЕС = ∠DСЕ), СD = DЕ = 17 см. За аксіомою вимірювання відрізків маємо: АD = АЕ + ЕD, АD = 10 + 17 = 27 (см). Розглянемо ∆СMND — прямокутний (∠N = 90°). За теоремою Піфагора маємо: СD2 = СN2 + ND2; ND2 = СD2 – СN2; ND2 = 172 – 82 = (17 – 8) • (17 + 8) = 9 • 25; ND = √(9 •25) = 3 • 5 = 15 (см). ВР — висота (ВР ⊥ АВ). Розглянемо ∆ВРА — прямокутний (∠Р = 90°). За теоремою Піфагора маємо: АВ2 = АР2 + РВ2; АР2 = АВ2 – ВР2; АР2 = 102 – 82 = (10 – 8) • (10 + 8) = 2 • 18 = 36; АР = √36 = 6 (см). За аксіомою вимірювання відрізків маємо: РN = АD – (АР + ND); PN = 27 – (6 + 15) = 27 – 21 = 6 (см). РВСN — прямокутник, РN = ВС = 6 см. S = (27+6)/2 • 8 = 33 • 4 = 132 (см2). Відповідь: S = 132 см2.