§ 4. Многокутники. Площа многокутника » 668

На колі радіуса 1 позначили 1000 точок. Доведіть, що знайдеться точка, яка належить даному колу, сума відстаней від якої до позначених точок більша за 1000. Нехай А1, А2, А3, ..., А1000 — позначені точки, O — центр кола. Візьмемо дві діаметрально протилежні точки B і С. Розглянемо ∆ВСА1 (де і деяке число від 1 до 1000). Нехай А1’ — точка діаметрально протилежна точці А1. Отже. ВА1СА1’ — паралелограм з центом у точці О. Звідси маємо: ВА1 = СА1’. З ∆ ∆СА1А1’ згідно нерівності трикутника маємо: СА1 + СА1’ ≥ А1А1’ = 2 (діаметр). Отже, СА1 + ВА1 ≥ 2. Додавши отримані нами оцінки для усіх точок А1, А2, ..., А1000 маємо, що (ВА1 + ВА2 + ВА3 + ... + ВА1000) + (СА1 + СА2 + СА3 + ... + СА1000) ≥ 2 • 1000 = 2000. Доведено.