§ 4. Многокутники. Площа многокутника » 709

Знайдіть площу паралелограма, діагоналі якого дорівнюють 26 см і 24 см, а одна з них перпендикулярна до сторони паралелограма. Виконаємо додаткові побудови: висоти ВN (ВN ⊥ АD) і СK (CK ⊥ АD). Розглянемо ∆АNВ і ∆DKС (∠ВNА = ∠СKD = 90°), АВ = СD (протилежні сторони паралелограма), АВ ∥ СD, АК — січна. За ознакою паралельних прямих маємо: ∠ВАN = ∠СDК (відповідні). За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: ∆АNВ = ∆DКС. За властивістю рівних фігур маємо: АN = DК. Нехай АN = см, DК = x см. Розглянемо ∆ВND — прямокутний (∠N = 90°). За теоремою Піфагора маємо: ВD2 = ВN2 + ND2, ВN2 = ВD2 – ND2. За аксіомою вимірювання відрізків маємо: ND = АD – АN, ND = АD – х. ВN2 = 242 – (АD – х)2. Розглянемо ∆АКС — прямокутний (∠К = 90°). За теоремою Піфагора маємо: АС2 = АК2 + СК2. ВN = СК — висоти паралелограма, проведені до сторони АD. За аксіомою вимірювання відрізків маємо: АК = АD + DК; АК = АD + х. СК2 = АС2 – АК2, СК2 = 262 – (АD + х)2. Складемо і розв’яжемо рівняння: 242 – (АD – х)2 = 262 – (АD + х)2; 576 – АD2 + 2АD • х – х2 = 676 – АD2 – 2АD • х – х2; 676 – AD2 – 2АD • х – x2 – 576 + AD2 – 2АD • x + x2 = 0; 100 – 4АD • x = 0; 4АD • x = 100; АD • х = 100 : 4; АD • х = 25. Розглянемо ∆АВD — прямокутний (∠В = 90°, тому що ВD ⊥ АВ). За метричними співвідношеннями у прямокутному трикутнику маємо: АВ2 = АN • ND, АВ2 = х • АD, АВ2 = 25; АВ = 5 см. За теоремою Піфагора маємо: АD2 = АВ2 + ВD2, АD2 = 52 + 242 = 25 + 576 = 601; АD = √601 см. АВ2 = АN • АD; 25 = АN • √601; АN = 25/√601 = (25√601)/601 (см). За аксіомою вимірювання відрізків маємо: ND = АD – АN. ND = √601 – 25/√601 = (601-25)/√601 = 576/√601 = (576√601)/601 (см); BN2 = AN • ND; BN2 = (25√601)/601 • (576√601)/601 = (25•576•601)/601^2 = (25•576)/601; BN = (5•24)/√601 = 120/√601 = (120√601)/601 (см). SABCD = BN • AD; ABCD = (√601•120√601)/601 = (120•601)/601 = 120 (см2). Відповідь: SABCD = 120 см2.