§ 4. Многокутники. Площа многокутника » 803

Більша діагональ прямокутної трапеції ділить висоту, проведену з вершини тупого кута, на відрізки завдовжки 15 см і 9 см. Більша бічна сторона трапеції дорівнює n меншій основі. Знайдіть площу трапеції. За умовою CD = BC. Отже, ∆BCD — рівнобедрений. За властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника маємо: ∠CBD = ∠CDB. ВС ∥ AD, BD — січна. За ознакою паралельності прямих маємо: ∠CBD = ∠BDA (внутрішні різносторонні). Отже, ∠CDB = ∠BDA, тому BD — бісектриса ∠ADC. Розглянемо ∆CND — прямокутний (∠N = 90°). За властивістю бісектриси кута трикутника маємо: CP/PN = CD/ND; CD/ND = 15/9; CD/ND = 5/3. Нехай CD = 5х (см), AD = 3х (см). За аксіомою вимірювання відрізків маємо: СN = СР + PN, СN = 15 + 9 = 24 (см). За теоремою Піфагора маємо: СD2 = СN2 + CD2; (5x)2 = (Зх)2 + 242; 25х2 = 9х2 + 242; 25х2 – 9x2 = 242; 16х2 = 242; (4x)2 = 242; 4х = 24; х = 24 : 4; х = 6. Отже, СD = 5 • 6 = 30 (см), ND = 3 • 6 = 18 (см). За умовою ВС = CD = 30 см. АВСN — прямокутник. ВС = АN = 30 см. За аксіомою вимірювання відрізків маємо: АD = АN + ND, АD = 30 + 18 = 48 (см). S = (a+ b)/2 • h, де а = ВС = 30 см, b = АD = 48 см, h = СN = 24 см. S = (30+48)/2 • 24 = 78 • 12 = 936 (см2). Відповідь: S = 936 см2.