§ 4. Многокутники. Площа многокутника » 660

Доведіть, що коли всі кути многокутника, описаного навколо кола, рівні, то й усі його сторони теж рівні. За умовою А1А2А2 ..Аn — многокутник, описаний навколо кола. Центом кола є точка перетину бісектрис кутів многокутника. За умовою ∠А1 = ∠A2 = ∠А3 = ... = ∠Аn. За означенням бісектриси кута маємо: ∠АnА1O = ∠ОА1А2; ∠А1А2O = ∠ОА2А3; ... Звідси маємо: ∆А1ОА2; ∆А2ОА3; ∆А3OА4; ... — рівнобедрені (за властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника). ОВ1, ОВ2, ОВ3, ... — радіуси кола, вписаного у многокутник. За властивістю кола, вписаного у многокутник, маємо: ОВ1 ⊥ А1А2, ОВ2 ⊥ А2A3, ОВ3 ⊥ А3A4, ... Отже, ОВ1 — висота ∆А1ОА2, ОВ2 — висота ∆А2ОА3, ОВ3 — висота ∆А3ОА4, ... За властивістю висоти рівнобедреного трикутника, проведеної до основи ОВ1; ОВ2, ОВ3, ... — медіани. Отже, А1B1 = В1А2, A2В2 = В2А3, … Розглянемо ∆ОВ1А2 і ∆ОВ2А2 — прямокутні (∠ОВ1А2 = ∠ОВ2А2 = 90°). ∠ОА2В1 = ∠ОА2В2 (за означенням бісектриси кута), ОА2 — спільна сторона. За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: А2В1 = А2В2. Звідси маємо А1А2 = А2А3. Доведено.