3. Паралельнi прямi » 416

У рівнобедреному трикутнику ABC з кутом при вершині В, який дорівнює 36°, провели бісектрису AD. Доведіть, що трикутники ADB і CAD рівнобедрені. Доведення: Нехай дано ∆ABC — рівнобедрений (AB = BC), ∠B = 36°, AD — бісектриса. Доведемо, що ∆ABD і ∆DAC — рівнобедрені. Розглянемо ∆ABC, так як AB = BC, то ∠A = ∠C. Оскільки ∠A + ∠B + ∠C = 180°, то ∠A + ∠C + 36° = 180°; ∠A + ∠C = 144°; ∠A = ∠C = 144 : 2 = 72°. ∠BAD = ∠DAC = 72° : 2 = 36° (AD — бісектриса). Розглянемо ∆ABD: ∠B = 36°, ∠BAD = 36°, тому ∆ABD — рівнобедрений з основою AB. Розглянемо ∆DAC: ∠C = 72°, ∠DAC = 36°. Оскільки ∠C + ∠DAC + ∠CDA = 180°, то 72° + 36° + ∠CDA = 180°. ∠CDA = 180° – 108°; ∠CDA = 72°. В ∆DAC: ∠C = 72°, ∠CDA = 72°, тому ∆DAC — рівнобедрений з основою DC.