3. Паралельнi прямi » 503

Доведіть рівність прямокутних трикутників за катетом і бісектрисою, проведеною з вершини прилеглого до цього катета гострого кута. Дано: ∆ABC — прямокутний (∠B = 90°). ∆A1B1C1 — прямокутний (∠B1 = 90°). AB = A1B1. AN — бісектриса ∠BAC; A1N1 — бісектриса ∠B1A1C1. AN = A1N1. Довести: ∆ABC – ∆A1B1C1. Доведення: За умовою AN — бісектриса ∠BAC, тоді за означенням бісектриси маємо: ∠BAN = ∠NAC. Аналогічно, якщо A1N1 — бісектриса ∠B1A1C1 тоді ∠B1A1N1 = ∠N1A1C1. Розглянемо ∆BAN і ∆B1A1N1: 1) ∠ABN = ∠B1A1N1 = 90°; 2) AB = A1B1 (за умовою); 3) AN = A1N1 (за умовою). За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: ∆BAN=∆B1A1N1. Звідси ∠BAN = ∠B1A1N1 тоді ∠BAC = ∠B1A1C1. Розглянемо ∆ABC і ∆A1B1C1: 1) ∠ABC = ∠A1B1C1 = 90°; 2) AB = A1B1; 3) ∠BAC = ∠B1A1C1. За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: ∆ABC. Доведено.