3. Паралельнi прямi » 435

Бісектриси кутів при основі AC рівнобедреного трикутника ABC перетинаються в точці О. Доведіть, що кут AOC дорівнює зовнішньому куту трикутника ABC при вершині А. Доведення: Нехай ∆АВС — рівнобедрений (AB = BC), AO — бісектриса, CO — бісектриса. ∠KAB — зовнішній кут ∆ABC, доведемо, що ∠AOC = ∠KAB. Нехай ∠A = ∠C = х, тоді ∠KAB = 180° – x (властивість зовнішнього кута). ∠ВАО = ∠OAC = ∠BCO = ∠OCA = 1/2∠A = 1/2∠C = 1/2 (так як AO і CO — бісектриси рівних кутів). Розглянемо ∆АОС. ∠OAC + ∠ACO + ∠AOC = 180°. х/2 + x/2 + ∠AOC = 180°; x + ∠AOC = 180°; ∠AOC = 180° – x. Отже, ∠AOC = 180° – x і ∠KAB = 180° – x, тому ∠AOC = ∠KAB.