3. Паралельнi прямi » 510

Висоти AM і CK трикутника ABC перетинаються в точці Н, HK = HM. Доведіть, що трикутник ABC рівнобедрений. Дано: ∆ABC. CK — висота (CK ⊥ AB). AM — висота (AM ⊥ BC). AM CK = H. KH = HМ. Довести: ∆АВС — рівнобедрений. Доведення: За умовою AM — висота (AM ⊥ BC); ∠AMC = 90°. Аналогічно CK — висота, ∠AKC = 90°. Розглянемо ∆AHK і ∆CHM: 1) ∠AKH = ∠CMH = 90°; 2) ∠AHK = ∠CHM (вертикальні); 3) KH = HM. За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: ∆AHK = ∆CHM. Звідси ∠KAH = ∠MCH. AH = HC. Розглянемо ∆AHC — рівнобедрений. За властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника маємо: ∠HAC = ∠HCА. За аксіомою вимірювання кутів маємо: ∠BAC = ∠BAM + ∠MAC; ∠BCA = ∠BCK + ∠KCA. Звідси ∠BAC = ∠BCA. Отже ∆АВС — рівнобедрений. Доведено.