3. Паралельнi прямi » 511

Висоти ME і NF трикутника MKN перетинаються в точці О, OM = ON, MF = KE. Доведіть, що трикутник MKN рівносторонній. Дано: ∆MKN. ME — висота (ME ⊥ KN). FN — висота (FN ⊥ MK). ME FN = 0. OM = ON; MF = KE. Довести: ∆MNK — рівносторонній. Доведення: Розглянемо ∆MOF і ∆NOE. За умовою NF — висота (NF ⊥ MK); ∠NFM = 90° і МЕ – висота; ∠MEN = 90°. 1) ∠MFO = ∠NEO = 90°; 2) ∠MOF = ∠NOE (вертикальні); 3) OM = ON. За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: ∆MFO = ∆NEO. Звідси MF = EN. За умовою MF = KE і MF = EN, тобто KE = EN. За умовою ME — висота. Тоді ∆MKN — рівнобедрений, MK = MN. Розглянемо ∆MFN і ∆NEM: 1) ∠MFN = ∠MEN = 90°; 2) MF = EN; 3) MN — спільна сторона. Тому ∆MFN = ∆NEM. Звідси ∠FMN = ∠MNE. Отже, ∆MKN — рівнобедрений. MK = KN. Якщо MK = MN і МK = KN. Тому ∆АВС — рівносторонній. Доведено.