3. Паралельнi прямi » 476

Доведіть, що сума довжин двох сторін трикутника більша за подвоєну довжину медіани, проведеної до третьої сторони. Нехай даний ∆ABC, CO — медіана, доведемо, що AC + BC > 2CO. На продовженні медіани CO відкладемо OD = ОС. Розглянемо ∆BOC і ∆AOD: 1) AO = OB (ОС — медіана); 2) CO = OD (за побудовою); 3) ∠BOC = ∠AOD (як вертикальні). Отже, ∆BOC = ∆AOD за І ознакою рівності трикутників, тоді BC = AD. Розглянемо ∆ADC, з нерівності трикутника випливає, що AD + AC > DC (AD = BC, DC = 2СО), тоді AC + BC > 2CO.