3. Паралельнi прямi » 507

Пряма перетинає сторони AB і BC трикутника ABC у точках M i K відповідно. Вершини даного трикутника рівновіддалені від прямої MK. Доведіть, що точки M і K є серединами сторін AB і BC відповідно. Дано: ∆АВС. AP ⊥ MK; BE ⊥ MK; CE ⊥ MK. AP = BE = CF. Довести: M — середина АВ, K — середина BC. Доведення: За умовою вершини трикутника рівновіддалені від прямої MK, тобто AP ⊥ MK; BE ⊥ MK; CF ⊥ MK і AP = BE = CF. Розглянемо ∆BEK і ∆CFK. BE ⊥ MK; ∠BEK = 90° і CF ⊥ MK; ∠CFK = 90°. ∠BEK = ∠CFK = 90°. BE = CF. ∠BKE = ∠CKF (вертикальні). За ознакою рівності прямокутника трикутників маємо: ∆BEK = ∆CFK. Звідси BK = KC, отже K — середина BC. Аналогічно ∆APM = ∆ВЕМ. ∠APM = ∠BEM = 90°; ∠AMP .= ∠BME (вертикальні); AP = ВE. Звідси AM = MB. M — середина відрізка AB. Доведено.