РОЗДІЛ 4. Розв’язування прямокутних трикутників » 874

874. Доведіть, що в колі: 1) рівні хорди рівновіддалені від центра; 2) з двох нерівних хорд більша хорда ближча до центра. 1) Нехай AB = 2а; CD = 2а; OB = OD = R. OK ⊥ AB; ОМ ⊥ CD. Із ∆OKB: OK = √(〖OB〗^2- (AB/2 )^2 ) = √(R^2- a^2 ). Із ∆OMD: OM = √(〖OD〗^2- (CD/2 )^2 ) = √(R^2- a^2 ). Отже, OK = ОМ. 2) Нехай AB = 2а; CD = 2b; b > а; ОВ = OD = R. Із ∆OMD: OK = √(〖OB〗^2- (AB/2 )^2 ) = √(R^2- a^2 ). Із ∆OMD: OM = √(〖OD〗^2- (AB/2 )^2 ) = √(R^2- b^2 ). Оскільки b > а, то b2 > а2; R2 – b2 < R2 – а2; √(R^2- b^2 ) < √(R^2- a^2 ); ОМ < ОК.