РОЗДІЛ 4. Розв’язування прямокутних трикутників » 965

965. Знайдіть сторони трикутника, якщо радіус вписаного кола дорівнює r, а кути трикутника дорівнюють α, β, γ. Дано: ∆ABC – описаний навколо кола; ∠A = α, ∠B = β; ∠C = γ, OK = OM = OP = r. Знайти: AB, BC, AC. Розв’язання Центр вписаного кола є точкою перетину бісектрис трикутника. ∆AKO (∠K = 90°): ∠OAK = 1/2 ∠A = α/2. tg ∠OAK = OK/AK; AK = OK/(tg∠OAK) = r/(tg α/2); AP = AK = r/(tg α/2). ∆BKO (∠K = 90°): KB = r/(tg β/2), BM = KB = r/(tg β/2). ∆CMO (∠M = 90°): MC = r/(tg γ/2); PC = MC = r/(tg γ/2). AB = AK + KB = r/(tg α/2) + r/(tg β/2) = r(1/(tg α/2) + 1/(tg β/2)). BC = BM + MC = r/(tg β/2) + r/(tg γ/2) = r(1/(tg β/2) + 1/(tg γ/2)). AC = AP + PC = r/(tg α/2) + r/(tg β/2) = r(1/(tg β/2) + 1/(tg γ/2)). Відповідь: r(1/(tg α/2) + 1/(tg β/2)), r(1/(tg β/2) + 1/(tg γ/2)), r(1/(tg β/2) + 1/(tg γ/2)).