РОЗДІЛ 4. Розв’язування прямокутних трикутників » 939

939. Знайдіть радіус r кола, вписаного в рівносторонній трикутник, і радіус R кола, описаного навколо цього трикутника, якщо сторо­ на трикутника дорівнює а. Дано: ∆АВС; АВ = ВС = АС = а. Знайти: R; r. Розв’язання ∠А = ∠В = ∠С = 60°. ∠ОВМ = 1/2∠В = 1/2 • 60° = 30°. О – центр вписаного і описаного кола; ОВ = R, OM – r. АМ ∈ медіаною, висотою та бісектрисою ∆АВС. ВМ = 1/2ВС = а/2. ∆ОМВ (∠М = 90°): cos ∠OBM = BM/OB. OB = BM/(cos∠OBM) = a/(2 cos⁡〖30°〗 ) = (a •2)/(2√3) = a/√3 = (a√3)/3. R = (a√3)/3. tg ∠OBM = OM/BM. OM = BM • tg ∠OBM = a/2 • tg 30° = a/2 • √3/3 = (a√3)/6. Відповідь: R = (a√3)/3, r = (a√3)/6.