Розділ 2. Подібність трикутників » 13.52

Чи можуть бісектриса і медіана, що виходять з вершини прямого кута трикутника, утворювати рівнобедрений трикутник? Якщо так, то знайдіть менший з гострих кутів прямокутного трикутника. 1) CL — бісектриса; CM — медіана. 2) Оскільки BM = AM = CM, то ML < AM, тобто ML < CM. 3) Припустимо CL = CM. Позначимо ∠CBM = β Тоді ∠BCM = α. 4) ∠CMA = 2β (зовнішній кут ∆BMC). Оскільки ми припустили, що CL = CM, то ∠MLC = 2 β. Тоді ∠MCL = 180° – 4β. З іншого боку ∠MCL = 90° – (45° + β) = 45° – β. Тому 180° – 4β = 45° – β; β = 45°. Але тоді ∠MCL = 45° – 45° = 0°, що неможливо. 5) Припустимо ML = CL; ∠B = β; ∠CMA = 2β. Тоді й ∠MCL = 2β. 6) Але ∠MCL = ∠LBC – ∠MCB = 45° – β. Маємо 2β = 45° – β; Зβ = 45°; β = 15°. Що можливо. Відповідь: Так; 15°.