Розділ 2. Подібність трикутників » 12.15

Доведіть, що точка перетину бісектрис кутів трапеції, прилеглих до бічної сторони, належить середній лінії трапеції. 1) Нехай задано трапецію ABCD з основами AD і BC; AO і BO — бісектриси, що перетинаються в точці О. 2) Проведемо через точку O прямі, пара–лельні AD і AB. Тоді AMON — паралелограм. 3) Оскільки AMON — паралелограм, і його діагональ ділить кут навпіл, то AMON — ромб і AM = MO. 4) Аналогічно MBKO — ромб і BM = MO. 5) Отже, AM = MB і ML ∥ AD ∥ BC. Тому за теоремою Фалеса CL = LD. Отже, ML — середня лінія трапеції і O ∈ ML. Доведено.