Розділ 2. Подібність трикутників » 11.20

Дано квадрат ABCD. Скільки існує точок K у площині цього квадрата таких, що кожний із трикутників ABK, BCK, CDK і ADK – рівнобедрений? 1) Нехай є деяка точка K1 така, що трикутники ABK1, BCK1, CDK1 і ADK1 — рівнобедрені, a AB — основа трикутника ABK1. Точка K1 належить серединному перпендикуляру до відрізка AB. 2) Тоді, очевидно, що CD — основа CDK1. 3) Якщо AK1 = AD, то ∆ADK1 також рівнобедрений. Аналогічно легко довести, що ∆CBK1 — рівнобедрений. 4) Якщо DK2 = DA, то ∆ADK2, а також ∆CK2B — рівнобедрені. 5) Звичайно умові задачі відповідає і точка О. 6) Якщо відкласти OK3 = OК1; OК2 = OК4, то точки К3 і K4 також відповідають умові. 7) Аналогічно можна знайти точки K5, K6, K7 і K8 на серединному перпендикулярі до відрізка AD. 8) Отже, всього існує 9 точок, що задовольняють умову задачі. Відповідь: 9 точок.