Розділ 2. Подібність трикутників » 16.24

Побудуйте трикутник ABC за даним кутом C, відношенням сторін AC : CB = 3 : 2 та медіаною CM. Нехай задано медіану CM і кут C трикутника ABC. 1) Побудуємо деякий трикутник, подібний до шуканого. Для цього побудуємо довільний трикутник A1B1C, у якого ∠C — заданий і A1C : CB1 = 3 : 2. 2) Побудуємо медіану цього трикутника CM1. 3) Відкладемо на прямій CM1 відрізок CM. 4) Через точку M проведемо пряму, паралельну A1B1 вона перетинає сторони кута C у точках A і В. ∆ABC ~ ∆A1B1C (за двома кутами). Тому A1C : CB1 = AC : CB, тобто AC : CB= 3 : 2. ∆А1СМ ~ ∆АСМ (за двома кутами). Тому (СМ_1)/СМ = (А_1 М_1)/АМ. ∆В1СМ ~ ∆ВСМ (за двома кутами). Тому (СМ_1)/СМ = (В_1 М_1)/ВМ. Отже, що (А_1 М_1)/АМ = (В_1 М_1)/ВМ; (А_1 М_1)/(В_1 М_1 ) = АМ/ВМ. Оскільки А1М1 : В1М1 (за побудовою), то АМ/ВМ = 1, тобто АМ = ВМ. Отже, СМ – медіана ∆АВС, і ∆АВС задовольняє умову.