Розділ 2. Подібність трикутників » 14.27

(Олімпіада Нью–Йорка, 1976 р.) Висоти гострокутного трикутника ABC перетинаються в точці O, а на відрізках OB і OC позначено точки B1 і C1, для яких ∠AB1C = ∠AC1B = 90°. Доведіть, що AB1 = AC1. 1) Нехай BB2 і CC2 — висоти гострокутного трикутника. 2) Тоді ∆AB1C ~ ∆AB2B1 (за двома кутами). Тому (АВ_1)/(АВ_2 ) = АС/(АВ_1 ); АВ_1^2 = АС • АВ2. 3) ∆АВВ2 ~ ∆АСС2 (за двома кутами). Тому АВ/(АС_1 ) = (АС_2)/(АС_2 ) ; АВ • АС2 = АС_1^2. 4) Отже, АВ_1^2 = АС • АВ2 = АВ • АС2 = АС_1^2, тому АВ_1^2 = АС_1^2 і АВ1 = АС1, що й треба було довести.