Розділ 2. Подібність трикутників » 13.50

Доведіть, що бісектриси кутів прямокутника, який не є квадратом, перетинаючись, утворюють квадрат. 1) Нехай ABCD — прямокутник. 2) ∠FCD = (90°)/2 = 45°. Тому у ∆CFD: ∠CFD = 45°. 3) ∠MAF і ∠CFD — відповідні кути, утворені при перетині паралельних прямих AM і FC січною AD. Тому AM ∥ NL. 4) Аналогічно можна довести, що KN ∥ ML. Тому KMLN — паралелограм. 5) У ∆АВК: ∠K= 180° – 2 • 45° = 90°. 6) ∠MKN= ∠ABK (як вертикальні). Отже, ∠MKN = 90°. Тому KMLN — прямокутник. 7) ∆AMD — рівнобедрений, тому AM = MD. 8) ∆ABK = ∆CLD (за стороною і двома кутами). Тому AK = LD. 9) AM = MD і AK = LD, отже KM = ML. А тому KMLN — квадрат, що й треба було довести.