Тема 2. ЧОТИРИКУТНИКИ. ПАРАЛЕЛОГРАМ » 9.26

9.26 На сторонах квадрата зовні побудовано рівносторонні трикутники. Доведіть, що вершини трикутників, які не є вершинами заданого квадрата, є вершинами іншого квадрата. 1) Нехай ABCD — заданий квадрат, а АВЕ, BCF, CDG і DAH — рівносторонні трикутники. Треба довести, що EFGH — квадрат. 2) ∠ABE = ∠CBF = 60°; тоді ∠EBF = 180° – (90° + 2 • 60°) = 150°. 3) Оскільки AB = BC і BE = AB; BF = BC, то BE = BF. Тому ∆EBF — рівнобедрений; ∠BEF = ∠BFE = (180°-150°)/2 = 15°. 4) Аналогічно ∠AEH = 15°. Тоді ∠HEF = 15° + 60° + 15° = 90°. 5) Аналогічно ∠EFG = ∠FGH = ∠GHE = 90°. За задачею №7.9 маємо EFGH — прямокутник. 6) За аналогією з п. 2), отримаємо ∠GCF = 150°. Тоді ∆EBF = ∆GCF (за першою ознакою), а тому EF = FG. 7) EFGH — прямокутник і EF = FG, тому EFGH — квадрат, що й треба було довести.