Тема 2. ЧОТИРИКУТНИКИ. ПАРАЛЕЛОГРАМ » 8.33

8.33 На діагоналі AC ромба ABCD позначено точки M і N такі, що AM = CN. Доведіть, що чотирикутник DMBN є ромбом (розгляньте два випадки розміщення точок M і N). І випадок. 1) ∆ВАМ = ∆DCN (за першою ознакою). Тому BM = DN. 2) Аналогічно ∆BCN = ∆DAM і тому BN = DM. 3) Оскільки у чотирикутника DMBN протилежні сторони попарно рівні, то DMBN — паралелограм. 4) ∆ВАМ = ∆BCN (за першою ознакою). Тому BM = BN. Дві сусідні сторони паралелограма рівні, тому він є ромбом. Отже, DMBN— ромб. II випадок. AM = CN. AN = AC – CN; CM = AC – AM. Але AM = CN, тому AN = CM. Далі доводимо так само, як у випадку І. Задачу повністю доведено.