Задачі підвищеної складностістр » 37

Доведіть, що модуль різниці коренів рівняння 5x2 – 2(5а + 3)х + 5а2+ 6а + 1 = 0 не залежить від значення а. |x1 – x2| = √((x_1-x_2 )^2 ) = √(x_1^2-2x_1 x_2+ x_2^2 ) = √((x_1+x_2 )^2-4x_1 x_2 ). За теоремою Вієта x1 + x2 = (2(5а+3))/5; x1x2 = (5а^2+6а+1)/5. Тоді |x1 – x2| = √((2/5(5a+3))^2-(4(5a^2+6a+1))/5 ) = √((4(25a^2+30a+9)-20(5a^2+6a+1))/25) = √((100а^2+120а+36-100а^2-120а-20)/25) = √16/5 = 4/5, не залежить від а.