Задачі підвищеної складностістр » 32

Для якого значення а сума квадратів коренів рівняння x2 – (а + 2)х + а – 3 = 0 буде найменшою? x2 – (a + 2)x + a – 3 = 0. Нехай x1 і x2 — корені рівняння, тоді за теоремою Вієта x1 + x2 = а + 2; x1x2 = а – 3. Маємо x_1^2 + x_2^2 = (x1 + х2)2 – 2x1x2 = (а + 2)2 – 2(a – 3) = а2 + 4а + 4 – 2а + 6 = а2 + 2а + 10 = а2 + 2а + 1 + 9 = (а + 1)2 + 9. При а = –1 вираз (а + 1)2 + 9 набуває найменшого значення. Відповідь: –1.